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高中数学LaTeX模板使用说明

本模板专为高中数学教学材料、讲义、习题集等设计，具有以下特点：

1. 定义（含行内公式）

代码：

<div class="math-container math-definition" data-number="1.1">
  <div class="math-title">定义：导数的概念</div>
  <div class="math-content">
    设函数 \( y = f(x) \) 在点 \( x_0 \) 的某个邻域内有定义，当自变量 \( x \) 在 \( x_0 \) 处取得增量 \( \Delta x \)（点 \( x_0 + \Delta x \) 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量 \( \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \)；如果 \( \Delta y \) 与 \( \Delta x \) 之比当 \( \Delta x \to 0 \) 时的极限存在，则称函数 \( y = f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处可导，并称这个极限为函数 \( y = f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处的导数，记作 \( f'(x_0) \) 或 \( y'|_{x=x_0} \)，即：
    \[
    f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
    \]
  </div>
</div>

效果如下：

定义：导数的概念

设函数 \( y = f(x) \) 在点 \( x_0 \) 的某个邻域内有定义，当自变量 \( x \) 在 \( x_0 \) 处取得增量 \( \Delta x \)（点 \( x_0 + \Delta x \) 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量 \( \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \)；如果 \( \Delta y \) 与 \( \Delta x \) 之比当 \( \Delta x \to 0 \) 时的极限存在，则称函数 \( y = f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处可导，并称这个极限为函数 \( y = f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处的导数，记作 \( f'(x_0) \) 或 \( y'|_{x=x_0} \)，即： \[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

2. 定理（含复杂块级公式）

代码：

<div class="math-container math-theorem" data-number="2.2">
  <div class="math-title">定理：牛顿-莱布尼茨公式</div>
  <div class="math-content">
    如果函数 \( F(x) \) 是连续函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上的一个原函数，那么：
    \[
    \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)
    \]
    其中 \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \) 称为定积分，\( F(x) \) 是 \( f(x) \) 的原函数，该公式揭示了定积分与不定积分的内在联系。
    <br><br>
    <strong>推论：</strong> 若 \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上连续，且 \( G(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \)，则 \( G'(x) = f(x) \)（变上限积分求导）。
  </div>
</div>

效果如下：

定理：牛顿-莱布尼茨公式

如果函数 \( F(x) \) 是连续函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上的一个原函数，那么： \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] 其中 \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \) 称为定积分，\( F(x) \) 是 \( f(x) \) 的原函数，该公式揭示了定积分与不定积分的内在联系。

推论： 若 \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上连续，且 \( G(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \)，则 \( G'(x) = f(x) \)（变上限积分求导）。

3. 例题（含矩阵、方程组）

代码：

<div class="math-container math-example" data-number="4.1">
  <div class="math-title">例题：计算数列的前 $n$ 项和</div>
  <div class="math-content">
  已知数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n = 2n - 1\)，求其前 \(n\) 项和\(S_n\)。
  </div>
</div>

效果如下：

例题：计算数列的前 \(n\) 项和

已知数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为 \(a_n = 2n - 1\)，求其前 \(n\) 项和\(S_n\)。

例题：求解线性方程组

用矩阵变换求解下列线性方程组： \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6 \\ 2x_1 - 3x_2 + 2x_3 = 14 \\ 3x_1 + x_2 - x_3 = -2 \end{cases} \] 解： 构造增广矩阵： \[ \overline{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \vdots & 6 \\ 2 & -3 & 2 & \vdots & 14 \\ 3 & 1 & -1 & \vdots & -2 \end{pmatrix} \] 经过初等行变换化为行最简形： \[ \overline{A} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 2 \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & -1 \\ 0 & 0 & 1 & \vdots & 2 \end{pmatrix} \] 因此方程组的解为 \( x_1 = 2 \)，\( x_2 = -1 \)，\( x_3 = 2 \)。

5. 习题（含向量、不等式）

代码：

<div class="math-container math-problem" data-number="5.3">
  <div class="math-title">习题：综合应用</div>
  <div class="math-content">
    已知向量 \( \vec{a} = (1, 2, 3) \)，\( \vec{b} = (2, -1, 4) \)，解答下列问题：
    <ol>
      <li>计算点积 \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) 和叉积 \( \vec{a} \times \vec{b} \)；</li>
      <li>证明柯西不等式：\( (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \leq |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \)；</li>
      <li>求与 \( \vec{a} \)、\( \vec{b} \) 都垂直的单位向量。</li>
    </ol>
    （提示：叉积公式 \( \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}
    \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
    a_1 & a_2 & a_3 \\
    b_1 & b_2 & b_3
    \end{vmatrix} \)）
  </div>
</div>

效果如下：

习题：综合应用

已知向量 \( \vec{a} = (1, 2, 3) \)，\( \vec{b} = (2, -1, 4) \)，解答下列问题：

1. 计算点积 \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) 和叉积 \( \vec{a} \times \vec{b} \)；
2. 证明柯西不等式：\( (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \leq |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \)；
3. 求与 \( \vec{a} \)、\( \vec{b} \) 都垂直的单位向量。

（提示：叉积公式 \( \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \)）

6. 练习题（含向量、不等式）

代码：

<div class="math-container math-exercise" data-number="0.3">
  <div class="math-title">习题：综合应用</div>
  <div class="math-content">
    已知向量 \( \vec{a} = (1, 2, 3) \)，\( \vec{b} = (2, -1, 4) \)，解答下列问题：
    <ol>
      <li>计算点积 \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) 和叉积 \( \vec{a} \times \vec{b} \)；</li>
      <li>证明柯西不等式：\( (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \leq |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \)；</li>
      <li>求与 \( \vec{a} \)、\( \vec{b} \) 都垂直的单位向量。</li>
    </ol>
    （提示：叉积公式 \( \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}
    \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
    a_1 & a_2 & a_3 \\
    b_1 & b_2 & b_3
    \end{vmatrix} \)）
  </div>
</div>

效果如下：

习题：综合应用

已知向量 \( \vec{a} = (1, 2, 3) \)，\( \vec{b} = (2, -1, 4) \)，解答下列问题：

1. 计算点积 \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) 和叉积 \( \vec{a} \times \vec{b} \)；
2. 证明柯西不等式：\( (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \leq |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \)；
3. 求与 \( \vec{a} \)、\( \vec{b} \) 都垂直的单位向量。

（提示：叉积公式 \( \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \)）

模块环境外的数学公式渲染，效果如下：
已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=4n-1$ ，求其前 $n$ 项和 $S_n$ 。